Calcule a integral:
27 (a) \int 7^{x} d x
(b) \int_{-2}^{1} 7^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede (a) a integral indefinida de \,7^x e (b) a integral definida de \,7^x de -2 até 1. O conteúdo envolvido é a regra de integração de funções exponenciais e, para o item (b), o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Para qualquer base a>0 diferente de 1, vale a fórmula de integração
\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C.
Basta aplicar com a=7:
\int 7^x\,dx = \frac{7^x}{\ln 7} + C.

Passo 3

No caso da integral definida, usamos o antiderivado acima e o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{-2}^{1}7^x\,dx = \left[\frac{7^x}{\ln7}\right]_{x=-2}^{x=1} = \frac{7^1 - 7^{-2}}{\ln7} = \frac{7 - \tfrac1{49}}{\ln7} = \frac{342}{49\,\ln7}.

Resposta

(a) \displaystyle \int 7^x\,dx = \frac{7^x}{\ln 7} + C
(b) \displaystyle \int_{-2}^{1}7^x\,dx = \frac{7 - \tfrac1{49}}{\ln7} = \frac{342}{49\,\ln7}

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