Calcule f^{\prime}(x) para f(x) dada.
f(x) = 133 \log _{5}\left|\frac{6 x+4}{2 x-3}\right|

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = 133 \log_{5}\Bigl|\frac{6x+4}{2x-3}\Bigr|.
O conteúdo necessário é a regra da cadeia aplicada à derivada de \log de base 5 e a derivada de quociente (regra do quociente).

Passo 2

Definimos
u(x) = \frac{6x+4}{2x-3}.
Para aplicar a regra do quociente, calculamos
u'(x) = \frac{(6)(2x-3) - (6x+4)(2)}{(2x-3)^2} = \frac{12x -18 -12x -8}{(2x-3)^2} = \frac{-26}{(2x-3)^2}.

Passo 3

Sabemos que
\frac{d}{dx}\Bigl[\log_{5}|u(x)|\Bigr] = \frac{u'(x)}{u(x)\,\ln 5}.
Portanto
\frac{d}{dx}\Bigl[\log_{5}\bigl|u(x)\bigr|\Bigr] = \frac{-26/(2x-3)^2}{\bigl((6x+4)/(2x-3)\bigr)\,\ln 5}.

Passo 4

Multiplicando por 133 e simplificando o quociente, temos
f'(x) = 133 \cdot \frac{-26/(2x-3)^2}{\bigl((6x+4)/(2x-3)\bigr)\,\ln 5} = 133\cdot\frac{-26}{(2x-3)^2}\cdot\frac{2x-3}{(6x+4)\,\ln 5} = \frac{-133\cdot26}{(2x-3)(6x+4)\,\ln 5}.
Fatorando 2 de 6x+4 e simplificando, obtemos
f'(x) = \frac{-3458}{2(2x-3)(3x+2)\,\ln 5} = \frac{-1729}{(2x-3)(3x+2)\,\ln 5}.

Resposta

f'(x) = \frac{-1729}{(2x-3)(3x+2)\,\ln 5}.

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