Calcule a integral por meio da substituição indicada, e expresse a resposta em termos de x.
\int \frac{1}{(5 x-4)^{10}} d x;
u=5 x-4

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{1}{(5x-4)^{10}}\,dx
usando a substituição \,u = 5x - 4.
Conteúdo: integração por substituição.

Passo 2

Com u = 5x - 4, temos
du = 5\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{5}.
A integral fica
\int \frac{1}{u^{10}}\;\frac{du}{5} =\frac{1}{5}\int u^{-10}\,du.

Passo 3

Agora integramos em u:
\int u^{-10}\,du =\frac{u^{-9}}{-9}+C
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\frac{1}{5}\int u^{-10}\,du =\frac{1}{5}\cdot\frac{u^{-9}}{-9}+C =-\frac{1}{45}\,u^{-9}+C.

Passo 4

Voltando à variável x, temos u=5x-4, então u^{-9}=(5x-4)^{-9}. A primitiva é
-\frac{1}{45}\,(5x-4)^{-9}+C.

Resposta

-\frac{1}{45\,(5x-4)^9}+C

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