Calcule f^{\prime}(x) para f(x) dada.
f(x) = 10\left(10^{x}+10^{-x}\right)^{10}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = 10\bigl(10^{x} + 10^{-x}\bigr)^{10}.
O conteúdo principal é diferenciacão de função composta, aplicando a regra da cadeia e a derivada de a^{x}, que é
\frac{d}{dx}a^{x} = a^{x}\ln(a).

Passo 2

Definimos a função interna
g(x) = 10^{x} + 10^{-x},
de modo que
f(x) = 10\,[g(x)]^{10}.
Pela regra da cadeia,
f'(x) = 10 \cdot 10\,[g(x)]^{9}\cdot g'(x) = 100\,[g(x)]^{9}\,g'(x).

Passo 3

Agora calculamos g'(x). Usando \frac{d}{dx}10^{x}=10^{x}\ln(10) e \frac{d}{dx}10^{-x}=-10^{-x}\ln(10), temos
g'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(10^{x}\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(10^{-x}\bigr) = 10^{x}\ln(10) \;-\;10^{-x}\ln(10) = \ln(10)\,\bigl(10^{x}-10^{-x}\bigr).

Passo 4

Substituindo g(x) e g'(x) em f'(x), obtemos
f'(x) = 100\,[\,10^{x}+10^{-x}\,]^{9}\;\cdot\;\ln(10)\,\bigl(10^{x}-10^{-x}\bigr).

Resposta

f'(x) = 100\,\ln(10)\,\bigl(10^{x}+10^{-x}\bigr)^{9}\,\bigl(10^{x}-10^{-x}\bigr).

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