Calcule f^{\prime}(x) para f(x) dada.
f(x) = 14 \log \left|\frac{1-x^{2}}{2-5 x^{3}}\right|

Passo 1

Temos
f(x) = 14 \,\log\Bigl\lvert\frac{1 - x^{2}}{2 - 5x^{3}}\Bigr\rvert
e queremos f'(x). O conteúdo aqui é a derivada do logaritmo de valor absoluto, em que usamos a regra da cadeia e a propriedade
\log\Bigl\lvert\frac{A}{B}\Bigr\rvert = \log\lvert A\rvert - \log\lvert B\rvert.

Passo 2

Reescrevendo
f(x) = 14\Bigl[\log\lvert 1 - x^{2}\rvert - \log\lvert 2 - 5x^{3}\rvert\Bigr].

Passo 3

Usamos a fórmula
\frac{d}{dx}\,\log\lvert u(x)\rvert = \frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u_{1}(x)=1 - x^{2} e u_{2}(x)=2 - 5x^{3}. Calculamos
u_{1}'(x) = -2x, \qquad u_{2}'(x) = -15x^{2}.

Passo 4

Aplicando a derivada em cada termo:
\frac{d}{dx}\,\log\lvert 1 - x^{2}\rvert = \frac{-2x}{1 - x^{2}}, \qquad \frac{d}{dx}\,\log\lvert 2 - 5x^{3}\rvert = \frac{-15x^{2}}{2 - 5x^{3}}.
Como há um sinal menos no segundo log, juntando tudo:
f'(x) = 14\Bigl(\frac{-2x}{1 - x^{2}} - \frac{-15x^{2}}{2 - 5x^{3}}\Bigr) =14\Bigl(-\frac{2x}{1 - x^{2}} + \frac{15x^{2}}{2 - 5x^{3}}\Bigr).

Resposta

f'(x) = 14\Bigl(-\frac{2x}{1 - x^{2}} + \frac{15x^{2}}{2 - 5x^{3}}\Bigr) = -\frac{28x}{1 - x^{2}} + \frac{210\,x^{2}}{2 - 5x^{3}}.

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