Calcule f^{\prime}(x) para f(x) dada.
f(x) = 15 \log \ln x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=15\,\log(\ln x). Aqui vamos usar o fato de que \log sem base explícita é o logaritmo decimal (base 10) e, dentro dele, há a função \ln x. Para diferenciar uma composição de funções, aplicaremos a regra da cadeia.

Passo 2

Seja u(x)=\ln x, de modo que f(x)=15\,\log(u).
  1. Derivada de \log(u) em relação a u é
\frac{d}{du}\bigl[\log(u)\bigr] =\frac{1}{u\,\ln(10)}.
  1. Derivada de u(x)=\ln x em relação a x é
u'(x)=\frac{1}{x}.
Pela regra da cadeia,
f'(x) =15 \cdot \frac{1}{u\,\ln(10)} \cdot u'(x) =15 \cdot \frac{1}{\ln(x)\,\ln(10)} \cdot \frac{1}{x}.

Resposta

f'(x)=\frac{15}{x\,\ln(10)\,\ln(x)}.

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