Calcule f^{\prime}(x) para f(x) dada.
f(x) = 5 \log \left(x^{4}+3 x^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=5\log\bigl(x^{4}+3x^{2}+1\bigr).
O conteúdo principal é aplicação da regra da cadeia em derivadas de logaritmo natural.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=x^{4}+3x^{2}+1
e calculamos sua derivada por termo a termo:
u'(x)=4x^{3}+6x.

Passo 3

Sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl[\log(u(x))\bigr]=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Como f(x)=5\log(u(x)), pela regra da cadeia
f'(x)=5\cdot\frac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) na expressão acima obtemos
f'(x)=5\frac{4x^{3}+6x}{x^{4}+3x^{2}+1}
e multiplicando o 5 pelo numerador:
f'(x)=\frac{20x^{3}+30x}{x^{4}+3x^{2}+1}.

Passo 5

Opcionalmente, podemos fatorar 10x no numerador para escrever
f'(x)=\frac{10x\,(2x^{2}+3)}{x^{4}+3x^{2}+1}.

Resposta

f'(x)=\frac{20x^{3}+30x}{x^{4}+3x^{2}+1}.

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