Calcule f^{\prime}(x) para f(x) dada.
\mathbf{f(x) = 19}(\boldsymbol{x}+\mathbf{1})^{\boldsymbol{x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) =19(x +1)^x
Aqui o conteúdo é derivação de função da forma (x +1)^x, para a qual usamos diferenciação logarítmica e regra da cadeia.

Passo 2

Definimos g(x)=(x +1)^x, de modo que
f(x) =19\cdotg(x).
Então basta achar g′(x) e depois multiplicar por 19.

Passo 3

Fazemos logaritmo natural em g:
h(x)=\ln(g(x))=\ln\bigl((x+1)^x\bigr)=x\,\ln(x+1).
Aplicando a regra do produto e a derivada de ln(x +1), obtemos
h'(x)=1\cdot\ln(x+1)+x\cdot\frac{1}{x+1} =\ln(x+1)+\frac{x}{x+1}.

Passo 4

Como g(x)= e^{h(x)}, pela regra da cadeia
g'(x)=h'(x)\,e^{h(x)} =\Bigl(\ln(x+1)+\frac{x}{x+1}\Bigr)\,e^{x\ln(x+1)} =\Bigl(\ln(x+1)+\frac{x}{x+1}\Bigr)(x+1)^x.

Passo 5

Finalmente,
f'(x)=19\,g'(x) =19\,(x+1)^x\Bigl(\ln(x+1)+\frac{x}{x+1}\Bigr).

Resposta

f'(x)=19\,(x+1)^x\Bigl(\ln(x+1)+\frac{x}{x+1}\Bigr).

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