Calcule f^{\prime}(x) para f(x) dada.
\mathbf{f(x) = 20} \boldsymbol{x}^{\mathbf{4}+\boldsymbol{x}^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x) = 20\,x^{4 + x^2}. O conteúdo aqui é a derivação de uma função em que tanto a base x quanto o expoente 4+x^2 dependem de x. Para isso, vamos usar a reescrita
x^{g(x)} = e^{\,g(x)\ln(x)}
e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevendo f(x) em termos de exponencial, definimos
f(x) = 20\,e^{u(x)}, \quad u(x) = \bigl(4 + x^2\bigr)\,\ln(x).

Passo 3

Pela regra da cadeia,
f'(x) = 20\,e^{u(x)}\;u'(x).
Para calcular u'(x), usamos o produto \bigl(4+x^2\bigr)\cdot\ln(x):
u'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(4 + x^2\bigr)\,\ln(x) + \bigl(4 + x^2\bigr)\,\frac{d}{dx}\ln(x) = 2x\,\ln(x) + \frac{4 + x^2}{x}.

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x) = 20\,e^{(4 + x^2)\ln(x)}\;\Bigl(2x\,\ln(x) + \frac{4 + x^2}{x}\Bigr).
Voltando ao formato de potência, e^{(4 + x^2)\ln(x)} = x^{4 + x^2}, obtemos
f'(x) = 20\,x^{4 + x^2}\;\Bigl(2x\,\ln(x) + x + \tfrac{4}{x}\Bigr).

Passo 5

Para simplificar, note que
2x\,\ln(x) + x + \frac{4}{x} = \frac{2x^2\ln(x) + x^2 + 4}{x},
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f'(x) = 20\,x^{4 + x^2}\;\frac{2x^2\ln(x) + x^2 + 4}{x} = 20\,x^{3 + x^2}\,\bigl(2x^2\ln(x) + x^2 + 4\bigr).

Resposta

f'(x) = 20\,x^{3 + x^2}\,\bigl(2x^2\ln(x) + x^2 + 4\bigr).

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