Calcule f^{\prime}(x) para f(x) dada.
\mathbf{f(x) = 21} \boldsymbol{2}^{\operatorname{sen}^{2} x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=21\cdot 2^{\sin^{2}x}
e pede f'(x). O conteúdo que vamos usar é a regra da derivada de uma exponencial de base a,
\frac{d}{dx}\bigl(a^{u(x)}\bigr)=a^{u(x)}\ln(a)\,u'(x),
e a regra da cadeia para u(x)=\sin^{2}x.

Passo 2

Aplicando a regra do fator constante, temos
f'(x)=21\cdot\frac{d}{dx}\Bigl(2^{\sin^{2}x}\Bigr).

Passo 3

Usando a derivada de 2^{u(x)},
\frac{d}{dx}\Bigl(2^{\sin^{2}x}\Bigr) =2^{\sin^{2}x}\ln(2)\,\frac{d}{dx}\bigl(\sin^{2}x\bigr).

Passo 4

Agora derivamos \sin^{2}x por meio da regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(\sin^{2}x\bigr) =2\,\sin x\;\cos x =\sin(2x).

Passo 5

Substituindo em f'(x) e simplificando,
f'(x) =21\cdot2^{\sin^{2}x}\ln(2)\,\sin(2x).

Resposta

f'(x)=21\;2^{\sin^{2}x}\,\ln(2)\,\sin(2x).

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