23 Uma célula esférica tem volume V e área de superfície S. Um modelo simples de crescimento de células antes dą mitose, admite que a taxa de crescimento d V / d t seja proporcional à área da superfície da célula. Mostre que d V / d t=k V^{2 / 3} para algum k>0, e expresse V como uma função de t.
Passo 1
O enunciado diz que uma célula esférica tem volume V e área de superfície S, e que
\frac{dV}{dt}\propto S.
Sabemos da geometria da esfera que
V = \frac{4}{3}\pi r^3 \quad\text{e}\quad S = 4\pi r^2.
Para relacionar \tfrac{dV}{dt} a V precisamos eliminar r e escrever S em função de V.
Passo 2
Da fórmula de V isolamos r:
r = \Bigl(\frac{3V}{4\pi}\Bigr)^{1/3}.
Substituindo em S=4\pi r^2, vem
S = 4\pi\Bigl(\frac{3V}{4\pi}\Bigr)^{2/3} = \underbrace{4\pi\Bigl(\frac{3}{4\pi}\Bigr)^{2/3}}_{k>0}\;V^{2/3}.
Logo, como \tfrac{dV}{dt} é proporcional a S, existe k>0 tal que