23 Uma célula esférica tem volume V e área de superfície S. Um modelo simples de crescimento de células antes dą mitose, admite que a taxa de crescimento d V / d t seja proporcional à área da superfície da célula. Mostre que d V / d t=k V^{2 / 3} para algum k>0, e expresse V como uma função de t.

Passo 1

O enunciado diz que uma célula esférica tem volume V e área de superfície S, e que
\frac{dV}{dt}\propto S.
Sabemos da geometria da esfera que
V = \frac{4}{3}\pi r^3 \quad\text{e}\quad S = 4\pi r^2.
Para relacionar \tfrac{dV}{dt} a V precisamos eliminar r e escrever S em função de V.

Passo 2

Da fórmula de V isolamos r:
r = \Bigl(\frac{3V}{4\pi}\Bigr)^{1/3}.
Substituindo em S=4\pi r^2, vem
S = 4\pi\Bigl(\frac{3V}{4\pi}\Bigr)^{2/3} = \underbrace{4\pi\Bigl(\frac{3}{4\pi}\Bigr)^{2/3}}_{k>0}\;V^{2/3}.
Logo, como \tfrac{dV}{dt} é proporcional a S, existe k>0 tal que
\frac{dV}{dt} = k\,V^{2/3}.

Passo 3

Resolvemos a equação
\frac{dV}{dt} = k\,V^{2/3}
por separação de variáveis:
\frac{dV}{V^{2/3}} = k\,dt.
Integramos ambos os lados:
\int V^{-2/3}dV = \int k\,dt \;\Longrightarrow\; 3\,V^{1/3} = k\,t + C.
Isolando V:
V^{1/3} = \frac{k}{3}\,t + C_1,
V(t) = \Bigl(\tfrac{k}{3}\,t + C_1\Bigr)^3,
onde C_1 é constante determinada pela condição inicial.

Resposta

\frac{dV}{dt} = k\,V^{2/3}, \qquad V(t) = \Bigl(\tfrac{k}{3}\,t + C_1\Bigr)^3.

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