15.17 Uma certa liga contém
de cobre e
de estanho. Quantas libras de cobre e de estanho devem ser fundidas com 100 libras da liga considerada, a fim de produzir outra liga que contenha
de cobre e
de estanho? As percentagens referem-se ao peso.
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos 100 libras de uma liga que contém 20 % de cobre e 5 % de estanho. Queremos adicionar certa quantidade de cobre puro e de estanho puro para obter uma nova liga com 30 % de cobre e 10 % de estanho. O conteúdo é mistura de ligas e porcentagem por peso, e vamos precisar montar equações em função das quantidades adicionadas.
Passo 2
Definimos as variáveis e calculamos as quantidades iniciais:
– Seja a massa de cobre puro (em libras) que adicionamos.
– Seja a massa de estanho puro (em libras) que adicionamos.
Na liga original (100 libras) já temos:
– Cobre: libras
– Estanho: libras
A massa total final será libras.
– Seja
– Seja
Na liga original (100 libras) já temos:
– Cobre:
– Estanho:
A massa total final será
Passo 3
Agora montamos as equações de porcentagem:
Para o cobre:
Para o cobre:
Para o estanho:
Cada uma diz que a fração da massa de cobre (ou estanho) na liga final deve ser 30 % (ou 10 %).
Passo 4
Multiplicamos e transformamos em um sistema linear:
Da equação do cobre:
Da equação do cobre:
Da equação do estanho:
Passo 5
Resolvemos o sistema:
Da segunda equação:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
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Resposta
É preciso adicionar 17,5 libras de cobre puro e 7,5 libras de estanho puro.