15.17 Uma certa liga contém 20 % de cobre e 5 % de estanho. Quantas libras de cobre e de estanho devem ser fundidas com 100 libras da liga considerada, a fim de produzir outra liga que contenha 30 % de cobre e 10 % de estanho? As percentagens referem-se ao peso.

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos 100 libras de uma liga que contém 20 % de cobre e 5 % de estanho. Queremos adicionar certa quantidade de cobre puro e de estanho puro para obter uma nova liga com 30 % de cobre e 10 % de estanho. O conteúdo é mistura de ligas e porcentagem por peso, e vamos precisar montar equações em função das quantidades adicionadas.

Passo 2

Definimos as variáveis e calculamos as quantidades iniciais:
– Seja x a massa de cobre puro (em libras) que adicionamos.
– Seja y a massa de estanho puro (em libras) que adicionamos.
Na liga original (100 libras) já temos:
– Cobre: 0,20times100=20 libras
– Estanho: 0,05times100=5 libras
A massa total final será 100+x+y libras.

Passo 3

Agora montamos as equações de porcentagem:
Para o cobre:
20+x100+x+y=0.30
Para o estanho:
5+y100+x+y=0.10
Cada uma diz que a fração da massa de cobre (ou estanho) na liga final deve ser 30 % (ou 10 %).

Passo 4

Multiplicamos e transformamos em um sistema linear:
Da equação do cobre:
20+x=0.30(100+x+y)
20+x=30+0.3x+0.3y
0.7x-0.3y=10
Da equação do estanho:
5+y=0.10(100+x+y)
5+y=10+0.1x+0.1y
-0.1x+0.9y=5

Passo 5

Resolvemos o sistema:
Da segunda equação:
-0.1x+0.9y=5implies x=9y-50
Substituindo na primeira:
0.7(9y-50)-0.3y=10
6.3y-35-0.3y=10implies6y=45implies y=7.5
Logo
x=9(7.5)-50=17.5

Resposta

É preciso adicionar 17,5 libras de cobre puro e 7,5 libras de estanho puro.

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