O círculo de raio r1 centrado em A intercepta o círculo de raio r2 centrado em B em exatamente dois pontos. O que se pode afirmar sobre
A B ?

Passo 1

O enunciado fala de dois círculos, um de raio r1 e centro em A, outro de raio r2 e centro em B, que se cortam em exatamente dois pontos. O conteúdo aqui é geometria plana: devemos usar a condição para duas circunferências se interceptarem em dois pontos distintos, que se baseia na existência de um triângulo cujos lados são r1, r2 e a distância d=AB.

Passo 2

Sejam C e D os pontos de interseção das duas circunferências. Então AC = r1, BC = r2 e AB = d. Para que o triângulo ABC exista (isto é, para que haja dois pontos de corte), o comprimento de cada lado deve ser menor que a soma dos outros dois e maior que a diferença absoluta deles.

Passo 3

Aplicando a desigualdade triangular ao triângulo ABC, obtemos simultaneamente
r1 + r2 > d,
r1 + d > r2Longrightarrow d > r2-r1,
r2 + d > r1Longrightarrow d > r1-r2
As duas últimas dão d > |r1-r2|.

Resposta

|r1-r2| < AB < r1 + r2

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