O círculo de raio centrado em A intercepta o círculo de raio centrado em B em exatamente dois pontos. O que se pode afirmar sobre ?
Passo 1
O enunciado fala de dois círculos, um de raio r1 e centro em A, outro de raio r2 e centro em B, que se cortam em exatamente dois pontos. O conteúdo aqui é geometria plana: devemos usar a condição para duas circunferências se interceptarem em dois pontos distintos, que se baseia na existência de um triângulo cujos lados são r1, r2 e a distância d=AB.
Passo 2
Sejam C e D os pontos de interseção das duas circunferências. Então AC = r1, BC = r2 e AB = d. Para que o triângulo ABC exista (isto é, para que haja dois pontos de corte), o comprimento de cada lado deve ser menor que a soma dos outros dois e maior que a diferença absoluta deles.
Passo 3
Aplicando a desigualdade triangular ao triângulo ABC, obtemos simultaneamente
r1 + r2 > d,
r1 + d > r2Longrightarrow d > r2-r1,
r2 + d > r1Longrightarrow d > r1-r2
As duas últimas dão d > |r1-r2|.
Resposta
|r1-r2| < AB < r1 + r2
Álgebra Linear e Geometria Analítica - João Lucas Marques Barbosa - Geometria Euclidiana Plana - 2ª Edição - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 11