Determinar a equação da circunferência de centro na origem do sistema cartesiano e tangente à reta x+y=5.

Passo 1

O enunciado pede a equação da circunferência com centro na origem (0,0) que seja tangente à reta x+y=5. Esse é um problema de geometria analítica onde usaremos a condição de tangência: o raio da circunferência deve ser igual à distância do centro à reta.

Passo 2

A equação geral de uma circunferência de centro na origem (0,0) e raio r é
x^2 + y^2 = r^2
Para que ela seja tangente à reta x+y=5, precisamos ter
r = distâncial((0,0),,x+y-5=0r) â

Passo 3

A fórmula da distância de um ponto (x0,y0) à reta ax+by+c=0 é
l|a x0 + b y0 + cr|raiza^2 + b^2
No nosso caso a=1, b=1, c=-5 e (x0,y0)=(0,0). Assim,
r = l|1cdot0 + 1cdot0 - 5r|raiz1^2 + 1^2 = 5raiz2

Passo 4

Calculamos agora r^2 e substituímos na equação da circunferência:
r^2 = (5raiz2)^2 = 252,
logo a equação fica
x^2 + y^2 = 252

Resposta

x^2 + y^2 = 252

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