Considere um círculo de raio
e centro O. Seja A um ponto deste círculo e seja B um ponto tal que o triângulo OAB é equilátero. Qual é a posição do ponto B relativamente ao círculo?
Passo 1
O enunciado diz que temos uma circunferência de centro
e raio
, um ponto
sobre essa circunferência e queremos localizar um ponto
tal que o triângulo
seja equilátero. Aqui entra geometria plana: usamos a definição de triângulo equilátero (lados iguais) e o conceito de rotação em torno de um ponto.
Passo 2
Num triângulo equilátero
vale
Como
(é o raio), segue que
também, ou seja,
pertence à mesma circunferência de centro
e raio
.
Passo 3
Além disso, para que
e
, o ângulo central
deve medir
(ou, equivalente,
no outro sentido). Isso vem diretamente do Teorema do Cosseno em
ou do fato de que um arco capaz de sustentar um corda igual ao raio subtende
.
Passo 4
Portanto, existem exatamente dois pontos
na circunferência que formam o triângulo equilátero com
e
: são as imagens de
por rotações de
e de
em torno de
. Em ambos os casos
fica sobre a circunferência.