Prove que, se ab=cd então
a) ac=bd e db=ca
b) a+ba=c+dd e a-ba=c-dc
c) a+bb=c+dd e a-bb=c-dd

Passo 1

Resumo do enunciado: partindo de
ab = cd,
precisamos deduzir várias outras igualdades de razões. O conteúdo em jogo é álgebra de proporções, em particular a regra do produto cruzado e inversão de frações.

Passo 2

Da igualdade tfracab=tfraccd obtemos, por produto cruzado,
a,d = b,c
Invertendo ambos os lados da proporção inicial, temos
ba = dc
Agora basta manipular essas duas frações:
  1. A partir de tfracab=tfraccd invertida e trocando numerador e denominador: ac ;=; bd
  2. A partir de tfracba=tfracdc invertida e trocando termos: db ;=; ca

Passo 3

Para as somas e diferenças sobre a:
a+ba = 1 + ba = 1 + dc = c+dc
a-ba = 1 - ba = 1 - dc = c-dc

Passo 4

Para as somas e diferenças sobre b:
a+bb = ab + 1 = cd + 1 = c+dd
a-bb = ab - 1 = cd - 1 = c-dd

Resposta

a) ac=bd e db=ca
b) a+ba=c+dc e a-ba=c-dc
c) a+bb=c+dd e a-bb=c-dd

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