Considere os seguintes conjuntos:
.
.
Determine os subconjuntos do plano:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para achar as interseções dos conjuntos definidos por duas circunferências e uma reta:
é o círculo de centro
e raio 2,
é o círculo de centro
e raio 1, e
é a reta
. Vamos usar sistemas de equações, eliminando e substituindo incógnitas para encontrar os pontos em comum.
Passo 2
Para calcular [\mathcal{A}\cap\mathcal{B}), escrevemos as equações dos dois círculos:
Expandindo ambas e subtraindo uma da outra obtemos uma reta auxiliar:
Subtraindo a primeira da segunda:
Substituindo em (x2+(y-1)2=4]:
O discriminante é
, daí
Assim
.
Passo 3
Para
, usamos
na equação de
:
Logo
Passo 4
Para
, de novo
na equação de
:
Expandindo:
Resolvendo:
Portanto
.
Resposta
,
,
.