Considere os seguintes conjuntos:
A=(x, y) mid x^2+(y-1)^2=4.
B=(x, y) mid(x+1)^2+(y-2)^2=1.
C=(x, y) mid x+y=1
Determine os subconjuntos do plano: A cap B, A cap C e B cap C.

Passo 1

O enunciado pede para achar as interseções dos conjuntos definidos por duas circunferências e uma reta: A é o círculo de centro (0,1) e raio 2, B é o círculo de centro (-1,2) e raio 1, e C é a reta x+y=1. Vamos usar sistemas de equações, eliminando e substituindo incógnitas para encontrar os pontos em comum.

Passo 2

Para calcular [\mathcal{A}\cap\mathcal{B}), escrevemos as equações dos dois círculos:
Expandindo ambas e subtraindo uma da outra obtemos uma reta auxiliar:
Subtraindo a primeira da segunda:
Substituindo em (x2+(y-1)2=4]:
O discriminante é , daí
Assim
.

Passo 3

Para AcapC, usamos y=1-x na equação de A:
x^2+(1-x-1)^2=4Rightarrow x^2+x^2=4,Rightarrow,2x^2=4,Rightarrow,x=pmraiz2
Logo
(x,y)=(raiz2,1-raiz2)ou(-raiz2,1+raiz2)

Passo 4

Para BcapC, de novo y=1-x na equação de B:
(x+1)^2+(1-x-2)^2=1Rightarrow(x+1)^2+( -x-1)^2=1
Expandindo:
2x^2+4x+2=1,Rightarrow,2x^2+4x+1=0
Resolvendo:
x=-4pmraiz16-84=-2pmraiz22, y=1-x=4mpraiz22
Portanto
BcapC=(tfrac-2+raiz22,tfrac4-raiz22),,(tfrac-2-raiz22,tfrac4+raiz22).

Resposta

,
,
.

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