e
bases finitas do espaço vetorial E . Se
eq são respectivamente as matrizes de passagem de
para
e de
para
, prove que as matrizes de passagem de
para
e de
para
são respectivamente pqe
.
8.41. Prove que o posto da transformação linear BA é menor do que ou igual ao posto de
e ao posto de B. Dê um exemplo em que posto de
posto de
posto de BA.
8.41. Prove que o posto da transformação linear BA é menor do que ou igual ao posto de
Passo 1
O enunciado tem duas partes: primeiro pede pra provar propriedades de matrizes de passagem entre bases U, V e W de um espaço vetorial E; depois quer mostrar que, para transformações lineares A e B, vale rank(BA) ≤ rank(A) e rank(BA) ≤ rank(B), e dar um exemplo onde rank(A)=rank(B) > rank(BA).
Passo 2
Para a parte das bases, lembramos que, se P é a matriz que leva coordenadas de U para V, então para qualquer vetor v temos
. De modo análogo, se Q leva de V para W então
. Compondo as duas mudanças de base, obtemos diretamente a matriz de passagem de U para W.
Como , concluímos que a matriz de passagem de U para W é o produto
.
Como
Passo 3
Para obter a matriz de passagem de V para U, basta inverter a mudança de base de U para V. Como P leva U em V, sua inversa P^{-1} leva V de volta em U. Logo a matriz de passagem de V para U é
.
Passo 4
Na segunda parte, usamos duas propriedades gerais de transformações lineares: (i) a imagem de BA está contida na imagem de B, logo
; (ii) o núcleo de A está contido no núcleo de BA, o que, pela fórmula do posto-nulidade, implica
.
Passo 5
Para dar o exemplo, considere em
as projeções ortogonais A no eixo x e B no eixo y. Cada uma tem posto 1, pois projetam em um subespaço unidimensional. Contudo, a composição BA projeta primeiro em x e depois em y, resultando sempre no vetor zero, então
. Assim temos
.
Resposta
Matriz de passagem de U para W: QP; de V para U: P^{-1}. Além disso, vale
e
. Exemplo: em
, projeções ortogonais A no eixo x e B no eixo y têm ambas posto 1, mas
é a projeção nula, de posto 0.