Sejam U, V e W bases finitas do espaço vetorial E . Se p eq são respectivamente as matrizes de passagem de U para V e de V para W, prove que as matrizes de passagem de U para W e de V para U são respectivamente pqe p^-1.
8.41. Prove que o posto da transformação linear BA é menor do que ou igual ao posto de A e ao posto de B. Dê um exemplo em que posto de A= posto de B> posto de BA.

Passo 1

O enunciado tem duas partes: primeiro pede pra provar propriedades de matrizes de passagem entre bases U, V e W de um espaço vetorial E; depois quer mostrar que, para transformações lineares A e B, vale rank(BA) ≤ rank(A) e rank(BA) ≤ rank(B), e dar um exemplo onde rank(A)=rank(B) > rank(BA).

Passo 2

Para a parte das bases, lembramos que, se P é a matriz que leva coordenadas de U para V, então para qualquer vetor v temos [v]V = P,[v]U. De modo análogo, se Q leva de V para W então [v]W = Q,[v]V. Compondo as duas mudanças de base, obtemos diretamente a matriz de passagem de U para W.
Como [v]W = Q,[v]V = Ql(P,[v]Ur) = (Q,P),[v]U, concluímos que a matriz de passagem de U para W é o produto Q,P.

Passo 3

Para obter a matriz de passagem de V para U, basta inverter a mudança de base de U para V. Como P leva U em V, sua inversa P^{-1} leva V de volta em U. Logo a matriz de passagem de V para U é P^-1.

Passo 4

Na segunda parte, usamos duas propriedades gerais de transformações lineares: (i) a imagem de BA está contida na imagem de B, logo rank(BA) <= rank(B); (ii) o núcleo de A está contido no núcleo de BA, o que, pela fórmula do posto-nulidade, implica rank(BA) <= rank(A).

Passo 5

Para dar o exemplo, considere em R^2 as projeções ortogonais A no eixo x e B no eixo y. Cada uma tem posto 1, pois projetam em um subespaço unidimensional. Contudo, a composição BA projeta primeiro em x e depois em y, resultando sempre no vetor zero, então rank(BA)=0. Assim temos rank(A)=rank(B)=1>0=rank(BA).

Resposta

Matriz de passagem de U para W: QP; de V para U: P^{-1}. Além disso, vale rank(BA)<=rank(A) e rank(BA)<=rank(B). Exemplo: em R^2, projeções ortogonais A no eixo x e B no eixo y têm ambas posto 1, mas BA é a projeção nula, de posto 0.

Exercícios de Livros Relacionados