Determine a inversa da matriz [ccIr & 0 a & Is] onde a in M(s times r) e 0 in M(r times s).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz de blocos
O conteúdo usado aqui é o de inversão de matrizes triangulares em blocos e vamos precisar usar a propriedade de que, se os blocos diagonais são invertíveis, a inversa mantém a forma triangular.

Passo 2

Como A é triangular por blocos com blocos diagonais invertíveis (são identidades), sabemos que A⁻¹ também será triangular por blocos. Vamos supor
e impor A·A^{-1}=I_{r+s}.

Passo 3

Multiplicando A por A^{-1} e igualando ao bloco identidade de ordem r+s, obtemos as equações:
  1. I_{r}X + 0·Z = I_{r}
  2. I_{r}Y + 0·W = 0
  3. aX + I_{s}Z = 0
  4. aY + I_{s}W = I_{s}.

Passo 4

Da equação 1) temos X = I_{r}.
Da equação 2) vem Y = 0.
Substituindo X em 3): a·I_{r} + Z = 0 ⇒ Z = -a.
E da equação 4), como Y = 0, obtemos W = I_{s}.

Passo 5

Portanto, juntando os blocos X, Y, Z e W, concluímos que a inversa é

Passo 6

A^-1=Ir&0-a&Is

Resposta

A^-1=Ir&0-a&Is

Exercícios de Livros Relacionados