8.42. Dada a transformação linear , entre espaços de dimensão finita, sejam e subespaços tais que e . Tome bases e cujos primeiros elementos formam respectivamente uma base de e uma base . Que forma tem a matriz de relativamente a e ?
Passo 1
Vamos recapitular o enunciado: temos uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita com decomposições diretas e . Escolhemos bases de cujos primeiros vetores formam base de e de cujos primeiros vetores formam base de . Queremos descobrir o formato da matriz de nessas bases.
Passo 2
Denotemos e . Assim e . Podemos ordenar a base de como
sendo base de e base de . E a base de como
com base de e o restante base de .
Passo 3
Agora, para cada vetor da base :
Se , então e . Isso faz as primeiras colunas da matriz serem nulas.
Se , então e , portanto só tem componente nas primeiras linhas associadas a (as linhas de são zero).
Passo 4
Como é bijetora (kernel trivial e imagem completa), temos . Logo o bloco que manda para é uma matriz quadrada invertível. Juntando tudo, a matriz de em blocos fica com zeros no canto superior esquerdo e em toda a parte inferior, e um bloco invertível no canto superior direito.
Resposta
A matriz de em relação a e tem a forma de bloco:
onde p=dimN(A), r=dimIm(A) e M é uma matriz rtimes r invertível.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Elon Lages Lima - Algebra Linear - 1ª Edição - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 8.41