8.42. Dada a transformação linear A: E F, entre espaços de dimensão finita, sejam E1 subset E e F1 subset F subespaços tais que E= N(A) oplus E1 e F=Im(A) oplus F1. Tome bases U subset E e V subset F cujos primeiros elementos formam respectivamente uma base de N(A) e uma base de Im(A). Que forma tem a matriz de A relativamente a U e V ?

Passo 1

Vamos recapitular o enunciado: temos uma transformação linear A: E to F entre espaços vetoriais de dimensão finita com decomposições diretas E=N(A)oplus E1 e F=Im(A)oplus F1. Escolhemos bases U de E cujos primeiros vetores formam base de N(A) e V de F cujos primeiros vetores formam base de Im(A). Queremos descobrir o formato da matriz de A nessas bases.

Passo 2

Denotemos p=dimN(A) e r=dimIm(A). Assim dim E=p+r e dim F=r+dim F1. Podemos ordenar a base de E como
U=u1,dots,up,;up+1,dots,up+r,
sendo u1,dots,up base de N(A) e up+1,dots,up+r base de E1. E a base de F como
V=v1,dots,vr,;vr+1,dots,
com v1,dots,vr base de Im(A) e o restante base de F1.

Passo 3

Agora, para cada vetor da base U:
  • Se i<= p, então uiinN(A) e A(ui)=0. Isso faz as primeiras p colunas da matriz serem nulas.
  • Se j=1,dots,r, então up+jin E1 e A(up+j)inIm(A), portanto só tem componente nas primeiras r linhas associadas a v1,dots,vr (as linhas de F1 são zero).

Passo 4

Como A|E1:E1toIm(A) é bijetora (kernel trivial e imagem completa), temos dim E1=dimIm(A)=r. Logo o bloco que manda up+1,dots,up+r para v1,dots,vr é uma matriz quadrada invertível. Juntando tudo, a matriz de A em blocos fica com zeros no canto superior esquerdo e em toda a parte inferior, e um bloco invertível no canto superior direito.

Resposta

A matriz de A em relação a U e V tem a forma de bloco:
[A]U,V= 0rtimes p & M 0 & 0 ,
onde p=dimN(A), r=dimIm(A) e M é uma matriz rtimes r invertível.

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