Seja c=[ci j] in M(n times n) uma matriz de posto 1 . Prove que c^2=(tr c) c e, mais geralmente, para todo n>1, c^n=(tr c)^n-1 c.
8.40. Sejam U, V e W bases finitas do espaço vetorial E . Se p eq são respectivamente as matrizes de passagem de U para V e de V para W, prove que as matrizes de passagem de U para W e de V para U são respectivamente pqe p^-1.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado. O exercício tem duas partes: (i) para uma matriz cin M(ntimes n) de posto 1 provar que c^2=(tr, c), c e mais geralmente c^n=(tr, c)^n-1, c; (ii) dadas bases finitas U, V, W e matrizes de passagem P de Uto V e Q de Vto W, provar que a passagem de Uto W é Q, P e a de Vto U é P^-1.

Passo 2

Como tem posto 1, existe vetores coluna tais que . Essa é a caracterização padrão de matrizes de posto 1 como produto externo.
Calcular o traço usando a definição . Logo .

Passo 3

Para usamos multiplicação de matrizes:

Passo 4

Para obter usamos indução em . Supondo , então
concluindo o passo de indução.

Passo 5

Agora a segunda parte. A matriz de passagem de base é a representação do operador identidade entre bases diferentes, e composição de operadores corresponde a produto de matrizes.
Logo, para passar de U a W basta compor as passagens Uto V e Vto W, o que dá P Uto W= Q, P.
Por fim, para voltar de V a U precisamos do inverso de P, pois só assim a composição com P dá a identidade. Logo P Vto U= P^-1.

Resposta

Para a matriz de posto 1, temos c^2=(tr, c), c e em geral c^n=(tr, c)^n-1, c. Para as mudanças de base,
P Uto W= P Vto W, P Uto V e
P Vto U=( P Uto V)^-1.

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