Seja
uma matriz de posto 1 . Prove que
e, mais geralmente, para todo
.
8.40.
e
bases finitas do espaço vetorial E . Se
eq são respectivamente as matrizes de passagem de
para
e de
para
, prove que as matrizes de passagem de
para
e de
para
são respectivamente pqe
.
8.40.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado. O exercício tem duas partes: (i) para uma matriz
de posto 1 provar que
e mais geralmente
; (ii) dadas bases finitas
e matrizes de passagem
de
e
de
, provar que a passagem de
é
e a de
é
.
Passo 2
Como
tem posto 1, existe vetores coluna
tais que
. Essa é a caracterização padrão de matrizes de posto 1 como produto externo.
Calcular o traço usando a definição . Logo .
Calcular o traço usando a definição . Logo .
Passo 3
Para
usamos multiplicação de matrizes:
Passo 4
Para obter
usamos indução em
. Supondo , então
concluindo o passo de indução.
Passo 5
Agora a segunda parte. A matriz de passagem de base é a representação do operador identidade entre bases diferentes, e composição de operadores corresponde a produto de matrizes.
Logo, para passar de a
basta compor as passagens
e
, o que dá
.
Por fim, para voltar de a
precisamos do inverso de
, pois só assim a composição com
dá a identidade. Logo
.
Logo, para passar de
Por fim, para voltar de
Resposta
Para a matriz de posto 1, temos
e em geral
. Para as mudanças de base,
e
.