Sejam V, V^prime subset E, e W, W^prime subset F bases finitas, e p, q as matrizes de passagem de V para V^prime e de W para W^prime respectivamente. Dada a transformação linear A: E F, sejam a e a^prime respectivamente as matrizes de A relativamente às bases V, W e V^prime, W^prime. Mostre que p é a matriz de IE nas bases V^prime, V e q é a matriz de IF nas bases W^prime, W. Use as igualdades A=A IE e A=IF A para provar que ap e qa ^prime são iguais à matriz de A nas bases V^prime, W. Obtenha assim uma nova dedução da fórmula a^prime=q^-1 a p.
8.46. Prove que uma matriz quadrada de posto 1 é idempotente se, e somente se, seu traço é igual a 1 .

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos uma transformação linear A∶E→F e duas bases em E (𝒱 e 𝒱′) e duas em F (𝒲 e 𝒲′). As matrizes de passagem são p (de 𝒱 para 𝒱′) e q (de 𝒲 para 𝒲′). Queremos mostrar que p e q são as matrizes das identidades I_E e I_F em bases trocadas, usar A=AI_E e A=I_F A para deduzir a fórmula de mudança de base
Conteúdo: mudança de base de matrizes e identidades.

Passo 2

Para ver que p é a matriz de I_E das bases 𝒱′→𝒱, basta notar que para qualquer vetor x∈E as coordenadas de x em 𝒱 são dadas por
[x]𝒱 = p,[x]𝒱
Isso é exatamente dizer que p representa I_E quando escrevemos as coordenadas de 𝒱′ e queremos as de 𝒱. De modo análogo, q representa I_F das bases 𝒲′→𝒲.

Passo 3

Agora use A= A I_E. Em coordenadas 𝒱′ e 𝒲 temos
[A]𝒲,𝒱 = [A]𝒲,𝒱 , [IE]𝒱,𝒱
Mas [IE]𝒱,𝒱=p e [A]𝒲,𝒱=a, logo
[A]𝒲,𝒱 = a,p

Passo 4

Use A= I_F A. Em coordenadas 𝒲′ e 𝒱′:
[A]𝒲,𝒱 = [IF]𝒲,𝒲,[A]𝒲,𝒱
Como [IF]𝒲,𝒲=q^-1 e já vimos [A]𝒲,𝒱=a,p, resulta
[A]𝒲,𝒱 = q^-1 ,a,p

Passo 5

Concluímos a mudança de base clássica:
a' = q^-1,a,p

Passo 6

Exercício 8.46 (posto 1 e idempotência⇔traço=1): Se A é n×n de posto 1, então A=uv^T para algum u,v≠0. Se A^2=A então
(uv^T)(uv^T)=u(v^Tu)v^T = uv^T ,Rightarrow, v^T u =1
Mas o traço de A é
tr(A)=tr(uv^T)=v^T u,
logo traço=1. Reciprocamente, se traço=1 então v^T u=1 e volta o mesmo cálculo para obter A^2=A.

Resposta

a) A fórmula de mudança de base é
a' = q^-1 ,a ,p
b) Uma matriz quadrada de posto 1 é idempotente se, e somente se, seu traço for igual a 1.

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