Sejam
, e
bases finitas, e
as matrizes de passagem de
para
e de
para
respectivamente. Dada a transformação linear
, sejam a e
respectivamente as matrizes de
relativamente às bases
e
. Mostre que
é a matriz de
nas bases
e
é a matriz de
nas bases
. Use as igualdades
e
para provar que ap e qa
são iguais à matriz de
nas bases
. Obtenha assim uma nova dedução da fórmula
.
8.46. Prove que uma matriz quadrada de posto 1 é idempotente se, e somente se, seu traço é igual a 1 .
8.46. Prove que uma matriz quadrada de posto 1 é idempotente se, e somente se, seu traço é igual a 1 .
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos uma transformação linear A∶E→F e duas bases em E (𝒱 e 𝒱′) e duas em F (𝒲 e 𝒲′). As matrizes de passagem são p (de 𝒱 para 𝒱′) e q (de 𝒲 para 𝒲′). Queremos mostrar que p e q são as matrizes das identidades I_E e I_F em bases trocadas, usar A=AI_E e A=I_F A para deduzir a fórmula de mudança de base
Conteúdo: mudança de base de matrizes e identidades.
Passo 2
Para ver que p é a matriz de I_E das bases 𝒱′→𝒱, basta notar que para qualquer vetor x∈E as coordenadas de x em 𝒱 são dadas por
Isso é exatamente dizer que p representa I_E quando escrevemos as coordenadas de 𝒱′ e queremos as de 𝒱. De modo análogo, q representa I_F das bases 𝒲′→𝒲.
Passo 3
Agora use A= A I_E. Em coordenadas 𝒱′ e 𝒲 temos
Mas
e
, logo
Passo 4
Use A= I_F A. Em coordenadas 𝒲′ e 𝒱′:
Como
e já vimos
, resulta
Passo 5
Concluímos a mudança de base clássica:
Passo 6
Exercício 8.46 (posto 1 e idempotência⇔traço=1): Se A é n×n de posto 1, então A=uv^T para algum u,v≠0. Se A^2=A então
Mas o traço de A é
logo traço=1. Reciprocamente, se traço=1 então v^T u=1 e volta o mesmo cálculo para obter A^2=A.
Resposta
a) A fórmula de mudança de base é
b) Uma matriz quadrada de posto 1 é idempotente se, e somente se, seu traço for igual a 1.