Dado o operador A: E E, prove:
(c) Se A é não-negativo, A^+também é.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se um operador auto-adjunto e não-negativo A tem pseudoinversa de Moore–Penrose A⁺, então A⁺ também é não-negativo. Vamos usar o teorema espectral para operadores auto-adjuntos e a definição de A⁺ em termos de autovalores.

Passo 2

Como A é auto-adjunto e não-negativo, existe uma base ortonormal de E formada por vetores próprios xi de A, com $ A xi = lambdai xi, lambdai>=0\lambda_i\ge0 xin Ex\in E x=sumi ai xix=\sum_i a_i x_i$.

Passo 3

Pela definição da pseudoinversa de Moore–Penrose, em cada autovetor xi temos: se lambdai>0, então $ A^+xi=1lambdaixi, lambdai=0\lambda_i=0 A^+xi=0ãA^+x_i=0 A^+A^+$ é auto-adjunto.

Passo 4

Agora, para verificar a não-negatividade de A^+, basta calcular lang<= A^+x,xrang<= para x=sumi ai xi: em bloco,
lang<= A^+x,xrang<= = lang<= A^+sumi ai xi,sumj aj xjrang<= = sumi,j aiajlang<= A^+xi,xjrang<=
Como os xi são ortonormais, só restam termos com i=j. E por definição de A^+,
lang<= A^+x,xrang<= = sumlambdai>0 |ai|^21lambdai ,>=0
Esse cálculo mostra que lang<= A^+x,xrang<=>=0 para todo x, ou seja, A^+ é não-negativo.

Resposta

O operador A^+ é não-negativo, pois para toda xin E vale lang<= A^+x,xrang<==sumlambdai>0|ai|^2/lambdai>=0.

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