Dado o operador , prove:
(c) Se é não-negativo, também é.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se um operador auto-adjunto e não-negativo A tem pseudoinversa de Moore–Penrose A⁺, então A⁺ também é não-negativo. Vamos usar o teorema espectral para operadores auto-adjuntos e a definição de A⁺ em termos de autovalores.
Passo 2
Como A é auto-adjunto e não-negativo, existe uma base ortonormal de E formada por vetores próprios de A, com $\lambda_i\ge0x\in Ex=\sum_i a_i x_i$.
Passo 3
Pela definição da pseudoinversa de Moore–Penrose, em cada autovetor temos: se , então $\lambda_i=0A^+x_i=0A^+$ é auto-adjunto.
Passo 4
Agora, para verificar a não-negatividade de , basta calcular para : em bloco,
Como os xi são ortonormais, só restam termos com i=j. E por definição de A^+,