Determine a pseudo-inversa de cada uma das seguintes transformações lineares:
(a) A transformação nula 0: E F;

Passo 1

Temos a transformação nula 0: E to F. O conteúdo é a pseudoinversa de Moore–Penrose, e para definir precisamos achar um operador 0^+: F to E que satisfaça as quatro condições de Moore–Penrose.

Passo 2

Como o operador 0 tem posto zero, é natural tentar 0^+ também como o operador nulo. Vamos verificar as condições:
  1. 0,0^+,0 = 0, pois todo produto contém um fator nulo.
  2. 0^+,0,0^+ = 0^+, pelo mesmo motivo.
  3. (0,0^+)^* = 0^* = 0 = 0,0^+, ou seja, é auto-adjunto.
  4. (0^+,0)^* = 0^* = 0 = 0^+,0, também auto-adjunto.

Passo 3

Como todas as quatro condições de Moore–Penrose se satisfazem com o operador nulo, concluímos que a pseudoinversa da transformação nula é o operador nulo de F para E.

Resposta

A pseudoinversa de 0: Eto F é o operador nulo 0^+: Fto E.

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