Determine a pseudo-inversa de uma matriz diagonal d= [di j] in M(n times n). (Isto significa, naturalmente, a matriz de D^+, onde D: R^n R^n é o operador linear cuja matriz na base canônica é d.) Considere explicitamente o caso em que a diagonal de d é (1,0,-2,0,1 / 3).

Passo 1

Estamos lidando com o operador linear D:R^ntoR^n cuja matriz na base canônica é a diagonal d=[dij], e queremos encontrar a pseudoinversa de Moore–Penrose dessa matriz. Para isso, vamos usar o fato de que — para matrizes diagonais — a pseudoinversa é também uma matriz diagonal cujas entradas são o recíproco das entradas não nulas e zero onde a entrada original é zero.

Passo 2

A teoria nos diz que, se D=diag(d1,d2,dots,dn), então sua pseudoinversa D^+ é dada por
D^+ = diag(d1^+,d2^+,dots,dn^+),
onde
di^+ = 1/di,&dineq0,0,&di=0

Passo 3

No caso concreto, a diagonal de d é
(d1,d2,d3,d4,d5) = l(1,0,-2,0,tfrac13r)
Aplicando a fórmula acima, obtemos
d1^+=1/1=1, d2^+=0, d3^+=1/(-2)=-tfrac12, d4^+=0, d5^+=1/(1/3)=3

Passo 4

Assim, a pseudoinversa D^+ é uma matriz diagonal cujas entradas são (1,0,-tfrac12,0,3).

Resposta

D^+ = 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & -tfrac12 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 3

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