Dado o operador
, prove:
(a)
é auto-adjunto,
também é.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se o operador linear A é auto-adjunto (ou seja, A=A^), então a sua pseudoinversa de Moore–Penrose A^+ também satisfaz A+=(A+)^. O conteúdo aqui é a definição e propriedades da pseudoinversa de Moore–Penrose.
Passo 2
Vamos recordar a definição da pseudoinversa de Moore–Penrose. Dado um operador (ou matriz) A, sua pseudoinversa A^+ é o único operador que satisfaz simultaneamente as quatro condições de Penrose:
Passo 3
Agora vamos provar o lema fundamental: para qualquer operador A, vale
Para isso, basta verificar que o operador (A+)* satisfaz as quatro condições de Penrose em relação a A^*. Por exemplo, usando (1) e tomando adjunto:
e de forma análoga para as outras três equações. Pela unicidade da pseudoinversa, concluímos que (A*)+ = (A+)*.
Passo 4
Finalmente, no caso especial em que A é auto-adjunto, temos A^*=A. Aplicando o resultado anterior:
Isso mostra exatamente que A^+ é auto-adjunto.
Resposta
Como A^+ = (A+)*, concluímos que A^+ é auto-adjunto.