Dado o operador A: E E, prove:
(a) Se A é auto-adjunto, A^+também é.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se o operador linear A é auto-adjunto (ou seja, A=A^), então a sua pseudoinversa de Moore–Penrose A^+ também satisfaz A+=(A+)^. O conteúdo aqui é a definição e propriedades da pseudoinversa de Moore–Penrose.

Passo 2

Vamos recordar a definição da pseudoinversa de Moore–Penrose. Dado um operador (ou matriz) A, sua pseudoinversa A^+ é o único operador que satisfaz simultaneamente as quatro condições de Penrose:
1) A,A^+,A = A, 2) A^+,A,A^+ = A^+, 3) (A,A^+)^* = A,A^+, 4) (A^+,A)^* = A^+,A

Passo 3

Agora vamos provar o lema fundamental: para qualquer operador A, vale
(A^*)^+ ,=, (A^+)^*
Para isso, basta verificar que o operador (A+)* satisfaz as quatro condições de Penrose em relação a A^*. Por exemplo, usando (1) e tomando adjunto:
(A^*), (A^+)^*,(A^*) = l(A,A^+,Ar)^* = A^* = A^*,
e de forma análoga para as outras três equações. Pela unicidade da pseudoinversa, concluímos que (A*)+ = (A+)*.

Passo 4

Finalmente, no caso especial em que A é auto-adjunto, temos A^*=A. Aplicando o resultado anterior:
A^+ = (A^*)^+ = (A^+)^*
Isso mostra exatamente que A^+ é auto-adjunto.

Resposta

Como A^+ = (A+)*, concluímos que A^+ é auto-adjunto.

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