Dados os vetores linearmente independentes v1, ldots, vr in R^n, seja a in M(n times r) a matriz que os tem como colunas. Prove que a projeção ortogonal de um vetor qualquer x in R^n sobre o subespaço gerado por v1, ldots, vr é P x=a(a^top a)^-1 a^top x, onde identificamos o vetor x in R^n com a matriz x in M(n times 1) cuja única coluna é x.

Passo 1

O enunciado diz que, dado um conjunto de vetores linearmente independentes v1,dots,vrinR^n, formamos a matriz ain M(ntimes r) cujas colunas são esses vi. Precisamos provar que a projeção ortogonal de um vetor qualquer xinR^n no subespaço gerado por esses vetores é dada por
P x=a(a^topa)^-1a^topx

Passo 2

Para encontrar a projeção ortogonal de x no subespaço coluna de a, assumimos que ela tem a forma hat x=ay para algum vetor yinR^r. A projeção ortogonal minimiza a distância ao subespaço, ou seja, minimiza
|x-ay|^2

Passo 3

A condição de ótimo dessa minimização é que o vetor de erro x-ay seja ortogonal a todo vetor coluna de a. Isso equivale a
a^top(x-ay)=0
ou seja
a^topx-a^topa,y=0

Passo 4

Como os vetores coluna de a são linearmente independentes, a matriz a^topa é invertível. Logo podemos resolver para y:
y=(a^topa)^-1a^topx
Substituindo de volta em hat x=ay, obtemos
hat x=a(a^topa)^-1a^topx,
que é justamente a projeção ortogonal desejada.

Resposta

P x = \mathbf{a}(\mathbf{a}{\top}\mathbf{a}){-1}\mathbf{a}^{\top}x

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