Dados os vetores linearmente independentes
, seja
a matriz que os tem como colunas. Prove que a projeção ortogonal de um vetor qualquer
sobre o subespaço gerado por
é
, onde identificamos o vetor
com a matriz
cuja única coluna é
.
Passo 1
O enunciado diz que, dado um conjunto de vetores linearmente independentes
, formamos a matriz
cujas colunas são esses
. Precisamos provar que a projeção ortogonal de um vetor qualquer
no subespaço gerado por esses vetores é dada por
Passo 2
Para encontrar a projeção ortogonal de
no subespaço coluna de
, assumimos que ela tem a forma
para algum vetor
. A projeção ortogonal minimiza a distância ao subespaço, ou seja, minimiza
Passo 3
A condição de ótimo dessa minimização é que o vetor de erro
seja ortogonal a todo vetor coluna de
. Isso equivale a
ou seja
Passo 4
Como os vetores coluna de
são linearmente independentes, a matriz
é invertível. Logo podemos resolver para
:
Substituindo de volta em
, obtemos
que é justamente a projeção ortogonal desejada.
Resposta
P x = \mathbf{a}(\mathbf{a}{\top}\mathbf{a}){-1}\mathbf{a}^{\top}x