Seja A: R^2 R^3 dada por A(x, y)=(x, y, 2 x+3 y). Determine a pseudo-inversa A^+: R^3 R^2.

Passo 1

O problema pede a pseudoinversa de Moore–Penrose de uma aplicação linear A:ℝ²→ℝ³ dada por A(x,y)=(x,y,2x+3y). Como A tem posto 2 (posto completo de colunas), podemos usar a fórmula padrão A⁺=(AᵀA)⁻¹Aᵀ.

Passo 2

Para aplicar a fórmula precisamos da matriz de A e de sua transposta. Em base canônica:
A=1 & 00 & 12 & 3,
onde as colunas são as imagens de (1,0) e (0,1). Logo
A^T=1 & 0 & 20 & 1 & 3

Passo 3

Agora calculamos AᵀA, que é matriz 2×2:
A^T A = 1 & 0 & 20 & 1 & 3 1 & 00 & 12 & 3 =5 & 66 & 10

Passo 4

Precisamos então inverter M=AᵀA. O determinante é det(M)=5·10−6·6=14, logo
M^-1=(A^T A)^-1 = 11410 & -6-6 & 5

Passo 5

Finalmente a pseudoinversa é
A^+ = (A^T A)^-1A^T = 11410 & -6-6 & 5 1 & 0 & 20 & 1 & 3 =11410 & -6 & 2-6 & 5 & 3

Passo 6

Escrevendo como aplicação em vetores (u,v,w)∈ℝ³, obtemos:
A^+(u,v,w)=l(10u-6v+2w14,-6u+5v+3w14r)

Resposta

A^+(u,v,w)=\bigl((10u-6v+2w)/14,(-6u+5v+3w)/14\bigr)

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