Seja
dada por
. Determine a pseudo-inversa
.
Passo 1
O problema pede a pseudoinversa de Moore–Penrose de uma aplicação linear A:ℝ²→ℝ³ dada por A(x,y)=(x,y,2x+3y). Como A tem posto 2 (posto completo de colunas), podemos usar a fórmula padrão A⁺=(AᵀA)⁻¹Aᵀ.
Passo 2
Para aplicar a fórmula precisamos da matriz de A e de sua transposta. Em base canônica:
onde as colunas são as imagens de (1,0) e (0,1). Logo
Passo 3
Agora calculamos AᵀA, que é matriz 2×2:
Passo 4
Precisamos então inverter M=AᵀA. O determinante é det(M)=5·10−6·6=14, logo
Passo 5
Finalmente a pseudoinversa é
Passo 6
Escrevendo como aplicação em vetores (u,v,w)∈ℝ³, obtemos:
Resposta
A^+(u,v,w)=\bigl((10u-6v+2w)/14,(-6u+5v+3w)/14\bigr)