Dada a transformação linear
, prove que, para todo
, tem-se
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para toda
, vale
. Estamos em espaços com produto interno e usamos a pseudoinversa de Moore–Penrose
e o adjunto
. Vamos precisar da propriedade fundamental de
ser projeção ortogonal em
sobre a imagem de
.
Passo 2
Em teoria de pseudoinversas, uma das quatro condições de Moore–Penrose diz que
é um operador autoadjunto idempotente em
, ou seja, é a projeção ortogonal de
sobre
. Assim, para qualquer
temos
.
Passo 3
Como
pertence automaticamente a
, basta tomar
. Então
, que é exatamente o que queríamos provar.
Resposta
Para todo
, tem-se
, pois
é a projeção ortogonal sobre
e
.