Dada a transformação linear A: E F, prove que, para todo w in F, tem-se A^+ A A^* w=A^* w.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para toda
w in F, vale
A^+ A A^* w = A^* w. Estamos em espaços com produto interno e usamos a pseudoinversa de Moore–Penrose A^+ e o adjunto A^*. Vamos precisar da propriedade fundamental de A^+ A ser projeção ortogonal em E sobre a imagem de A^*.

Passo 2

Em teoria de pseudoinversas, uma das quatro condições de Moore–Penrose diz que
A^+ A é um operador autoadjunto idempotente em E, ou seja, é a projeção ortogonal de E sobre Im(A^*). Assim, para qualquer y in Im(A^*) temos
A^+ A,y = y.

Passo 3

Como A^* w pertence automaticamente a Im(A^*), basta tomar y = A^* w. Então
A^+ A A^* w = A^* w, que é exatamente o que queríamos provar.

Resposta

Para todo win F, tem-se A^+ A A^* w = A^* w, pois A^+A é a projeção ortogonal sobre Im(A^*) e A^*winIm(A^*).

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