Dados os vetores: vec{u}=(1,1,-1) ; \vec{v}=(5,3,0) e vec{w}=(-3,2,-1) calcular:
\vec{u} \wedge \vec{v}+\vec{u} \wedge \vec{w}

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec u=(1,1,-1), \vec v=(5,3,0) e \vec w=(-3,2,-1)
e pede para calcular
\vec u\wedge\vec v+\vec u\wedge\vec w.
O conteúdo envolve produto vetorial (cross-product) e a propriedade distributiva em relação à soma.

Passo 2

A definição de produto vetorial em \mathbb R^3 é: se
\vec a=(a_1,a_2,a_3) e \vec b=(b_1,b_2,b_3), então
\vec a\wedge\vec b =(a_2b_3 - a_3b_2,\; a_3b_1 - a_1b_3,\; a_1b_2 - a_2b_1).

Passo 3

Para \vec u=(1,1,-1) e \vec v=(5,3,0) computamos cada componente:
u_2v_3 - u_3v_2 = 1\cdot0 -(-1)\cdot3 = 3,
u_3v_1 - u_1v_3 = (-1)\cdot5 - 1\cdot0 = -5,
u_1v_2 - u_2v_1 = 1\cdot3 - 1\cdot5 = -2.
Logo,
\vec u\wedge\vec v = (3,\,-5,\,-2).

Passo 4

Para \vec u=(1,1,-1) e \vec w=(-3,2,-1) fazemos:
u_2w_3 - u_3w_2 = 1\cdot(-1) -(-1)\cdot2 = -1 + 2 = 1,
u_3w_1 - u_1w_3 = (-1)\cdot(-3) - 1\cdot(-1) = 3 + 1 = 4,
u_1w_2 - u_2w_1 = 1\cdot2 - 1\cdot(-3) = 2 + 3 = 5.
Portanto,
\vec u\wedge\vec w = (1,\,4,\,5).

Passo 5

Agora somamos
\vec u\wedge\vec v + \vec u\wedge\vec w = (3,-5,-2) + (1,4,5) = (3+1,\,-5+4,\,-2+5) = (4,\,-1,\,3).

Resposta

(4,\,-1,\,3)

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