Decomponha os seguintes números em fatores primos em
:
c)
c)
Passo 1
O exercício pede a decomposição de
em fatores primos no anel dos inteiros gaussianos
. Vamos usar a teoria de normas e de primos em
.
Passo 2
Em
, a norma de um número
é definida por
e é multiplicativa, ou seja,
. Primos gaussianos têm norma igual a um primo em
ou ao quadrado de um primo racional que permanece irracional.
Passo 3
Calculemos a norma de
:
Como
, a decomposição em fatores de norma em
deve ser um primo de norma
e outro de norma
.
Passo 4
Na decomposição, o primo de norma
em
(até unidade) é
. Então escrevemos
Expandindo, temos:
Logo
Resolvendo, obtemos
e
.
Passo 5
O fator
tem norma
, que é primo em
, logo
é primo em
. Assim, chegamos à decomposição em fatores primos.
Passo 6
Concluímos que a fatoração de
em
(até unidade) é dada por
.