Decomponha os seguintes números em fatores primos em mathbbZ[i]:
c) 5+7 i

Passo 1

O exercício pede a decomposição de 5+7i em fatores primos no anel dos inteiros gaussianos Z[i]. Vamos usar a teoria de normas e de primos em Z[i].

Passo 2

Em Z[i], a norma de um número a+bi é definida por N(a+bi)=a^2+b^2 e é multiplicativa, ou seja, N(zw)=N(z)N(w). Primos gaussianos têm norma igual a um primo em Z ou ao quadrado de um primo racional que permanece irracional.

Passo 3

Calculemos a norma de 5+7i:
N(5+7i)=5^2+7^2=25+49=74=2cdot 37
Como 74=2cdot37, a decomposição em fatores de norma em Z[i] deve ser um primo de norma 2 e outro de norma 37.

Passo 4

Na decomposição, o primo de norma 2 em Z[i] (até unidade) é 1+i. Então escrevemos
5+7i=(1+i)(x+yi)
Expandindo, temos:
(1+i)(x+yi)=(x-y)+(x+y)i=5+7i
Logo
x-y=5,
x+y=7
Resolvendo, obtemos x=6 e y=1.

Passo 5

O fator 6+i tem norma 6^2+1^2=37, que é primo em Z, logo 6+i é primo em Z[i]. Assim, chegamos à decomposição em fatores primos.

Passo 6

Concluímos que a fatoração de 5+7i em Z[i] (até unidade) é dada por (1+i)(6+i).

Resposta

5+7i=(1+i)(6+i)

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