Decomponha os seguintes números em fatores primos em mathbbZ[i]:
d) 7+5 i

Passo 1

O enunciado pede para decompor o número de Gauss 7+5i em fatores primos no anel Z[i]. Vamos usar o conceito de norma e a classificação de primos em Z[i].

Passo 2

Calculamos a norma de 7+5i:
N(7+5i)=7^2+5^2=49+25=74=2cdot37

Passo 3

Sabemos que em Z[i]:
– O primo racional 2 é ramificado: 2=-i(1+i)^2, onde 1+i é primo de norma 2.
– O primo racional 37, com 37equiv1pmod4, se fatora em conjugados de norma 37, por exemplo 6+i e 6-i, pois 6^2+1^2=37.

Passo 4

Precisamos então encontrar quais fatores combinados resultam em 7+5i. Testando
(1+i)(6-i)=6-i+6i-i^2=(6+1)+5i=7+5i
logo não precisamos de unidade extra além de 1.

Passo 5

Concluímos que a fatoração de 7+5i em Z[i] é
7+5i=(1+i)(6-i)
esses fatores são primos no anel dos inteiros de Gauss.

Resposta

7+5i = (1+i)(6 - i)

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