Ache os resíduos quadráticos módulo 5 ; idem módulo 7

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os resíduos quadráticos nos anéis ℤ/5ℤ e ℤ/7ℤ. O conteúdo aqui é teoria de resíduos quadráticos: vamos usar a definição e calcular todos os quadrados x² módulo n para x variando de 0 até n–1.

Passo 2

Um número a em ℤ/nℤ é chamado de resíduo quadrático módulo n se existe x em ℤ/nℤ tal que x^2 equiv a pmodn. Para achar todos, basta listar x^2 bmod n para x=0,1,dots,n-1 e extrair os valores distintos.

Passo 3

Calculando os quadrados módulo 5:
0^2 &equiv 0 pmod5, 1^2 &equiv 1 pmod5, 2^2 &equiv 4 pmod5, 3^2 &equiv 9 equiv 4 pmod5, 4^2 &equiv 16 equiv 1 pmod5
Os valores distintos são 0,1,4.

Passo 4

Calculando os quadrados módulo 7:
0^2 &equiv 0 pmod7, 1^2 &equiv 1 pmod7, 2^2 &equiv 4 pmod7, 3^2 &equiv 9 equiv 2 pmod7, 4^2 &equiv 16 equiv 2 pmod7, 5^2 &equiv 25 equiv 4 pmod7, 6^2 &equiv 36 equiv 1 pmod7
Os valores distintos são 0,1,2,4.

Resposta

Resíduos quadráticos módulo 5: {0,1,4}. Resíduos quadráticos módulo 7: {0,1,2,4}.

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