2.6 Mostre que 2 é o único número primo de Z que é associado de um quadrado de Z[i]

Passo 1

O problema pede para mostrar que, dentro do anel dos inteiros gaussianos Z[i], o único primo p em Z que pode ser escrito, até unidade, como um quadrado em Z[i] (ou seja, existe alphainZ[i] e unidade u tal que p = u,alpha^2) é o 2. Vamos usar a classificação de primos em Z[i] e a norma N(a+bi)=a^2+b^2.

Passo 2

Primeiro, verificamos o caso p=2. Observe que
(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i,
logo
2 = -i,(1+i)^2

Passo 3

Isso mostra que 2 é, de fato, associado a (1+i)^2 em Z[i].

Passo 4

Agora consideramos um primo p>=3. Dividimos em dois subcasos de acordo com pbmod4:
Para pequiv3pmod4, sabe-se que p permanece irreduzível em Z[i]. Se houvesse alpha e unidade u com p = u,alpha^2, então pela norma teríamos
N(p)=p^2 = N(u),N(alpha^2) = N(alpha)^2,
pois N(u)=1. Assim N(alpha)=p, ou seja, alpha=a+bi satisfaz a^2+b^2=p. Mas não existe representação de um primo equiv3pmod4 como soma de dois quadrados não nulos. Contradição.

Passo 5

Para pequiv1pmod4, o primo se decompõe em fatores não-associados em Z[i]: existe pi com N(pi)=p e
p = pi,pi

Passo 6

Se fosse p = u,alpha^2, pela norma de novo teríamos N(alpha)=p, forçando alpha a ser associado a pi ou a pi. Logo alpha^2 seria associado a pi^2 ou a pi^2, e isso não pode dar pi,pi (pela unicidade da fatoração em Z[i]). Contradição.

Passo 7

Portanto, em nenhum dos casos pequiv1pmod4 ou pequiv3pmod4 surge um primo p associado a um quadrado em Z[i], restando apenas p=2.

Resposta

2

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