2.6 Mostre que 2 é o único número primo de que é associado de um quadrado de
Passo 1
O problema pede para mostrar que, dentro do anel dos inteiros gaussianos , o único primo em que pode ser escrito, até unidade, como um quadrado em (ou seja, existe e unidade tal que ) é o . Vamos usar a classificação de primos em e a norma .
Passo 2
Primeiro, verificamos o caso . Observe que
logo
Passo 3
Isso mostra que é, de fato, associado a em .
Passo 4
Agora consideramos um primo . Dividimos em dois subcasos de acordo com :
Para , sabe-se que permanece irreduzível em . Se houvesse e unidade com , então pela norma teríamos
pois . Assim , ou seja, satisfaz . Mas não existe representação de um primo como soma de dois quadrados não nulos. Contradição.
Passo 5
Para , o primo se decompõe em fatores não-associados em : existe com e
Passo 6
Se fosse p = u,alpha^2, pela norma de novo teríamos N(alpha)=p, forçando alpha a ser associado a pi ou a pi. Logo alpha^2 seria associado a pi^2 ou a pi^2, e isso não pode dar pi,pi (pela unicidade da fatoração em Z[i]). Contradição.
Passo 7
Portanto, em nenhum dos casos pequiv1pmod4 ou pequiv3pmod4 surge um primo p associado a um quadrado em Z[i], restando apenas p=2.
Resposta
2
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Abramo Hefez - Curso de Álgebra - 3ª Edição - Capítulo 10.2.Problemas - Ex. 2.6