Decomponha os seguintes números em fatores primos em mathbbZ[i]:
b) 11 times 13

Passo 1

O enunciado pede a fatoração em Z[i] de 11times13. O conteúdo envolve o comportamento de primos racionais em Z[i] e vamos usar o seguinte: um primo pequiv3pmod4 permanece irreduzível em Z[i], enquanto um primo pequiv1pmod4 se decompõe como produto de duas conju
gadas não triviais.

Passo 2

Analisando 11: como 11equiv3pmod4, ele é primo em Z[i]. Ou seja, não se decompõe além de multiplicá-lo por uma unidade.

Passo 3

Analisando 13: como 13equiv1pmod4, ele se separa em duas conju
gadas de norma 13. Buscamos inteiros a,b com a^2+b^2=13. A solução não trivial é 2^2+3^2=13. Logo,
13=(2+3i)(2-3i)

Passo 4

Juntando tudo, na fatoração de 11times13 em Z[i] obtemos, até unidades,
11times13 = 11cdot(2+3i)cdot(2-3i)

Resposta

Até unidades, 11times13=11cdot(2+3i)cdot(2-3i), onde 11 é primo em Z[i] e 2pm3i são primos gaussianos.

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