Quais são os inteiros abaixo que são somas de dois quadrados:
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o inteiro
pode ser escrito como soma de dois quadrados. Vamos usar o critério de Fermat: um inteiro positivo é soma de dois quadrados se, na sua fatoração, todo primo
aparece com expoente par.
Passo 2
Vamos observar a fatoração de
: ela já está dada como
.
Passo 3
Agora classificamos os fatores segundo seu valor módulo 4: o primo
é especial (pode aparecer livremente), o primo
aparece com expoente
(par), o primo
aparece com expoente
, e o primo
aparece com expoente
(par).
Passo 4
Como todos os primos congruentes a
mod
(ou seja,
e
) aparecem com expoente par, pelo critério de Fermat concluímos que
é soma de dois quadrados.
Resposta
O número
é soma de dois quadrados.