Quais são os inteiros abaixo que são somas de dois quadrados:
b) 2 times 3^2 times 5 times 7^4

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o inteiro n = 2 times 3^2 times 5 times 7^4 pode ser escrito como soma de dois quadrados. Vamos usar o critério de Fermat: um inteiro positivo é soma de dois quadrados se, na sua fatoração, todo primo pequiv3pmod4 aparece com expoente par.

Passo 2

Vamos observar a fatoração de n: ela já está dada como n = 2 cdot 3^2 cdot 5^1 cdot 7^4.

Passo 3

Agora classificamos os fatores segundo seu valor módulo 4: o primo 2 é especial (pode aparecer livremente), o primo 3equiv3pmod4 aparece com expoente 2 (par), o primo 5equiv1pmod4 aparece com expoente 1, e o primo 7equiv3pmod4 aparece com expoente 4 (par).

Passo 4

Como todos os primos congruentes a 3 mod 4 (ou seja, 3 e 7) aparecem com expoente par, pelo critério de Fermat concluímos que n é soma de dois quadrados.

Resposta

O número 2times3^2times5times7^4 é soma de dois quadrados.

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