O departamento de propaganda de uma fábrica de patinetes estimou que venderia 600 patinetes por semana a 100 reais cada. Mas concluiu também que se reduzisse 5 reais no preço unitário venderia 50 patinetes
a mais por semana. Qual deve ser o preço de venda dos patinetes, para que a fábrica tenha a maior renda possível, mensalmente?

Passo 1

O enunciado fala de maximizar a renda mensal de uma fábrica de patinetes a partir da relação preço–quantidade, que é linear. O conteúdo é otimização de receita com demanda linear, e vamos precisar: (a) montar a função demanda a partir de dois pontos dados; (b) definir a receita semanal e convertê-la em mensal; (c) usar a fórmula do vértice de uma parábola para achar o preço ótimo.

Passo 2

Como a demanda é linear e sabemos que a 100 reais se vendem 600 unidades, e que ao reduzir 5 reais vende-se 50 unidades a mais, o declive da reta é
50-5=-10
Logo, se chamarmos de q(p) o número de patinetes vendidos por semana a um preço p (em reais), temos:
q(p)=600+10(100-p)=1600-10p

Passo 3

A receita semanal Rs(p) é o preço vezes a quantidade:
Rs(p)=p,q(p)=p(1600-10p)=1600p-10p^2

Passo 4

Para obter a receita mensal aproximada, multiplicamos por 4 semanas:
R(p)=4Rs(p)=4(1600p-10p^2)=6400p-40p^2

Passo 5

A função R(p)=6400p-40p^2 é uma parábola com coeficiente de ‎ p^2 negativo, então atinge um máximo no vértice. Se escrevermos R(p)=a p^2+b p+c, temos a=-40 e b=6400. O preço ótimo é
p^*=-b2a=-64002(-40)=640080=80

Resposta

R$ 80,00

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