Determinar o centro e o raio da circunferência de equação 4 x^2+4 y^2+8 x-4 y-3=0.

Resolução

Começamos dividindo a equação por 4 para colocá-la na forma geral:
x^2+y^2+2 x-y-34=0
Temos:
l x0=-a2=-22=-1 y0=-b2=-(-1)2=12 Rightarrow C=(-1, 12)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o centro e o raio da circunferência de equação
4x^2+4y^2+8x-4y-3=0
O conteúdo é equação de segundo grau em x e y representando uma circunferência. Vamos usar a técnica de completar quadrados para escrever na forma padrão
(x-x0)^2+(y-y0)^2=r^2

Passo 2

Dividimos toda a equação por 4 para simplificar os coeficientes:
x^2+y^2+2x - y - 34=0

Passo 3

Agrupamos os termos em x e em y e isolamos o termo constante:
(x^2+2x)+(y^2-y)=34

Passo 4

Em cada grupo, completamos o quadrado:
Para x: x^2+2x = (x+1)^2-1
Para y: y^2-y = (y-tfrac12)^2-tfrac14
Substituindo na equação e somando as constantes ao lado direito:
(x+1)^2-1 ;+;(y-tfrac12)^2-tfrac14 ;=;34 Longrightarrow (x+1)^2+(y-tfrac12)^2 =34+1+14=2

Passo 5

Agora a equação está na forma
(x - (-1))^2 + (y - tfrac12)^2 = 2,
da qual identificamos
x0 = -1, y0 = tfrac12, r = raiz2

Resposta

O centro é C = l(-1,tfrac12r) e o raio é r = raiz2.

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