Determinar a intersecção da circunferência de centro (0,1) e raio 1 com a de centro (3,5) e raio 4 .

Passo 1

O enunciado pede os pontos de intersecção das circunferências
C1: (x-0)^2+(y-1)^2=1^2
e
C2: (x-3)^2+(y-5)^2=4^2
O conteúdo é resolver um sistema de duas equações de segundo grau em x,y. A ideia é subtrair as duas equações para obter uma equação linear (eixo radical) e depois substituir numa das circunferências.

Passo 2

Escrevendo e expandindo cada equação:
C1:;x^2 +y^2 -2y +1=1 Longrightarrow x^2+y^2-2y=0,
C2:;x^2-6x+9+y^2-10y+25=16 Longrightarrow x^2+y^2-6x-10y+18=0

Passo 3

Subtraindo a equação de C1 da de C2 elimina x^2+y^2:
l(x^2+y^2-6x-10y+18r);-;l(x^2+y^2-2yr)=0 ;Longrightarrow;-6x-8y+18=0
que simplifica para
3x+4y=9

Passo 4

Da reta 3x+4y=9 isolamos
y=9-3x4
Substituímos em C1:
x^2+l(9-3x4-1r)^2=1
Reescrevendo 9-3x4-1=5-3x4 e multiplicando por 16:
16x^2+(5-3x)^2=16 ;Longrightarrow; 16x^2+9x^2-30x+25=16 ;Longrightarrow; 25x^2-30x+9=0

Passo 5

O discriminante é
De<a =(-30)^2-4cdot25cdot9=900-900=0,
logo há raiz dupla
x=3050=35
Então
y=9-3cdottfrac354 =9-tfrac954 =tfrac3654 =95
Portanto há exatamente um ponto de intersecção (tangência externa).

Resposta

l(tfrac35,,tfrac95r)

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