Determinar o ponto de encontro das mediatrizes (circuncentro) do triângulo de vértices A(8,0), B(0,4) e C(-1,3).

Passo 1

Neste exercício, queremos determinar o circuncentro de um triângulo com vértices A(8,0), B(0,4) e C(-1,3). O circuncentro é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados, então vamos usar geometria analítica: calcular pontos médios, inclinações dos lados, equações das mediatrizes e resolver o sistema.

Passo 2

Para a mediatriz de AB, encontramos primeiro o ponto médio
MAB = l(8+02, 0+42r) = (4,2)
A inclinação de AB é
mAB = 4-00-8 = -tfrac12,
logo a mediatriz tem inclinação perpendicular m1 = 2. Sua equação, em forma ponto-inclinação, é
y - 2 = 2,(x - 4),
que em forma explícita fica
y = 2x - 6

Passo 3

Para a mediatriz de AC, o ponto médio é
MAC = l(8 + (-1)2, 0+32r) = l(tfrac72, tfrac32r)
A inclinação de AC é
mAC = 3-0-1 - 8 = -tfrac13,
portanto a mediatriz tem inclinação perpendicular m2 = 3. Sua equação ponto-inclinação é
y - tfrac32 = 3l(x - tfrac72r),
que se rearruma para
y = 3x - 9

Passo 4

O circuncentro é a interseção dessas mediatrizes, isto é, a solução do sistema
y = 2x - 6, y = 3x - 9
Igualando as duas expressões para y
2x - 6 = 3x - 9 Longrightarrow x = 3
Substituindo em y = 2x - 6 resulta
y = 2cdot3 - 6 = 0

Resposta

O circuncentro do triângulo é l(3,0r).

Exercícios de Livros Relacionados