Para que valores de k as retas x+y=2 k, x-y=k e kx+3 y=0 passam por um mesmo ponto?
37. Para que valores de k o sistema
x+k y & =-3 2 x-y & =k x+y & =-k çã

Passo 1

Questão 1: queremos achar os valores de k tais que as retas
x+y=2k,
x-y=k,
kx+3y=0
concorrem num mesmo ponto. Vamos usar álgebra para encontrar o ponto de interseção das duas primeiras e impor que ele satisfaça a terceira.

Passo 2

Interseção das duas primeiras retas. Somando
x+y=2k
com
x-y=k
temos
2x=3kLongrightarrow x=3k2
Substituindo em x+y=2k
3k2+y=2k Longrightarrow y=2k-3k2=k2
Logo o ponto comum é
Pl(tfrac3k2,,tfrack2r)

Passo 3

Exigir que P satisfaça a reta kx+3y=0. Substituindo
kcdot3k2+3cdotk2=0 Longrightarrow 3k^22+3k2=0 Longrightarrow 3k2(k+1)=0
Daí vêm
k=0 ou k=-1

Passo 4

Questão 2: para que valores de
admite solução? Trata-se de um sistema sobredeterminado em (x,y]; vamos resolver duas equações e impor consistência com a terceira.

Passo 5

Das segund a e terceira equações:
2x-y=k Longrightarrow y=2x-k,
x+y=-k Longrightarrow x+(2x-k)=-k Longrightarrow 3x=0 Longrightarrow x=0,;y=-k
Esse par (0,-k) deve satisfazer x+ky=-3:
0+k(-k)=-3 Longrightarrow -k^2=-3 Longrightarrow k^2=3 Longrightarrow k=pmraiz3

Resposta

Para que as três retas concorram num mesmo ponto é necessário e suficiente
boxedk=0 ou k=-1
Para que o sistema admit a solução é necessário e suficiente
boxedk=raiz3 ou k=-raiz3

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