Determinar os vértices de um triângulo sendo conhecidos o baricentro, G=(4, 13, 2), e os pontos médios de dois lados, M=(3,1, 12) e N=(0,-1,2).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um triângulo cujos vértices chamaremos de A, B e C. Conhecemos o baricentro
G=l(4,tfrac13,2r)
e os pontos médios de dois de seus lados, digamos
M=l(3,1,tfrac12r)(ponto médio de (BC)), é
N=l(0,-1,2r)(ponto médio de (CA)) é
Para resolver, precisamos usar a propriedade de que o baricentro é a média aritmética dos vértices e a definição de ponto médio.

Passo 2

Escrevendo as equações correspondentes:
  1. Como
G=A+B+C3,
temos
A+B+C ;=;3G ;=;l(12,1,6r)
  1. Como M é o ponto médio de BC,
B+C ;=;2M ;=;l(6,2,1r)
  1. Como N é o ponto médio de CA,
C+A ;=;2N ;=;l(0,-2,4r)

Passo 3

Para encontrar C, some as duas últimas equações:
(B+C)+(C+A) ;=;2M+2N ;Longrightarrow; A+B+2C = l(6,2,1r)+l(0,-2,4r)=l(6,0,5r)
Mas A+B+2C=(A+B+C)+C=(12,1,6)+C. Logo
(12,1,6)+C = (6,0,5) Longrightarrow C = (6,0,5)-(12,1,6)=(-6,-1,-1)

Passo 4

Com C em mãos, voltamos às equações de soma:
B+C=(6,2,1) ;Longrightarrow; B=(6,2,1)-C=(6,2,1)-(-6,-1,-1)=(12,3,2),
C+A=(0,-2,4) ;Longrightarrow; A=(0,-2,4)-C=(0,-2,4)-(-6,-1,-1)=(6,-1,5)

Resposta

Os vértices do triângulo são
A=l(6,-1,5r), B=l(12,3,2r), C=l(-6,-1,-1r)

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