Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos dados:
e
.
Passo 1
O problema pede o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos
,
e
. O assunto é geometria analítica de círculos: vamos usar que o centro é a interseção das mediatrizes dos segmentos formados pelos pontos e em seguida calcular o raio como a distância do centro a qualquer um dos pontos.
Passo 2
Para a mediatriz de
, primeiro achamos o ponto médio e o coeficiente angular de
. O ponto médio
é dado por
O coeficiente angular de
é
Logo, o coeficiente angular da mediatriz (perpendicular) é
. A equação da mediatriz em forma ponto-coeficiente fica
o que se rearranja para
Passo 3
Agora para a mediatriz de
, o ponto médio
é
O coeficiente angular de
é
então o coeficiente da mediatriz é
. A equação é
que dá
Passo 4
Para encontrar o centro [(h,k)) do círculo, resolvemos o sistema formado pelas duas mediatrizes:
Igualando as expressões de (y], temos
de onde
Substituindo em
,
Assim o centro é
Passo 5
Para achar o raio, calculamos a distância do centro a um dos pontos, por exemplo
:
Resposta
Centro:\ \left(-\tfrac72,,\tfrac{23}2\right),\ Raio:\ \tfrac{5\sqrt{34}}2