Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos dados:
P1=(-2,-3), Q1=(4,-1) e R1=(2,-2).

Passo 1

O problema pede o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos P1=(-2,-3), Q1=(4,-1) e R1=(2,-2). O assunto é geometria analítica de círculos: vamos usar que o centro é a interseção das mediatrizes dos segmentos formados pelos pontos e em seguida calcular o raio como a distância do centro a qualquer um dos pontos.

Passo 2

Para a mediatriz de P1Q1, primeiro achamos o ponto médio e o coeficiente angular de P1Q1. O ponto médio M1 é dado por
M1=l(-2+42,-3+(-1)2r)=(1,-2)
O coeficiente angular de P1Q1 é
mPQ=-1-(-3)4-(-2)=26=13
Logo, o coeficiente angular da mediatriz (perpendicular) é m1=-3. A equação da mediatriz em forma ponto-coeficiente fica
y+2=-3(x-1)
o que se rearranja para
y=-3x+1

Passo 3

Agora para a mediatriz de Q1R1, o ponto médio M2 é
M2=l(4+22,-1+(-2)2r)=(3,-1,5)
O coeficiente angular de Q1R1 é
mQR=-2-(-1)2-4=-1-2=12,
então o coeficiente da mediatriz é m2=-2. A equação é
y+1,5=-2(x-3)
que dá
y=-2x+4,5

Passo 4

Para encontrar o centro [(h,k)) do círculo, resolvemos o sistema formado pelas duas mediatrizes:
Igualando as expressões de (y], temos
de onde
Substituindo em ,
Assim o centro é

Passo 5

Para achar o raio, calculamos a distância do centro a um dos pontos, por exemplo P1=(-2,-3):
r=raizl(-2-(-3,5)r)^2+l(-3-11,5r)^2 =raiz1,5^2+(-14,5)^2 =raiz2,25+210,25 =raiz212,5 =raiztfrac4252 =tfrac5raiz342

Resposta

Centro:\ \left(-\tfrac72,,\tfrac{23}2\right),\ Raio:\ \tfrac{5\sqrt{34}}2

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