Determine as coordenadas do vetor u=(5,3,4) do R^3 em relação às bases:
(1,1,1),(1,0,1),(1,0,-1)

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor ,u=(5,3,4)inR^3 como combinação linear dos vetores da base
B=l(1,1,1),;(1,0,1),;(1,0,-1)r
Isto equivale a encontrar escalares x,y,z tais que
x,(1,1,1)+y,(1,0,1)+z,(1,0,-1)=(5,3,4)

Passo 2

Escrevendo componente a componente, temos
(x+y+z,;x,;x+y-z)=(5,3,4)
Isso gera o sistema
x + y + z = 5, x = 3, x + y - z = 4

Passo 3

Da segunda equação obtém-se imediatamente
x=3
Substituindo em x+y+z=5 e em x+y-z=4, vem
3 + y + z = 5Longrightarrow y+z=2,
3 + y - z = 4Longrightarrow y-z=1
Somando essas duas últimas equações:
(y+z)+(y-z)=2+1Longrightarrow 2y=3Longrightarrow y=tfrac32
E então
y+z=2Longrightarrow z=2-tfrac32=tfrac12

Resposta

As coordenadas de u na base B são
(u)B = l(3,;tfrac32,;tfrac12r)

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