A matriz de mudança da base B=1+t, 1-t^2 para uma base C ambas do mesmo subespaço de P2 é [rr2 & 3 4 & -7], encontre a base C.

Passo 1

O enunciado dá a base
B=,b1=1+t,;b2=1-t^2
de um subespaço de P2 e diz que a matriz de mudança de coordenadas de B para outra base C=c1,c2 é
PC B ;=; 2 & 3 4 & -7 ,
ou seja, para todo vetor v do subespaço vale
[,v,]C ;=; PC B,[,v,]B
Queremos achar explicitamente os vetores c1 e c2 em termos de t.

Passo 2

Como PC B satisfaz
[,b1,]C = PC B,[,b1,]B = PC B 10 = 24, [,b2,]C = PC B 01 = 3-7,
isso significa que, em coordenadas de C,
b1 = 2,c1 + 4,c2, b2 = 3,c1 - 7,c2

Passo 3

Escrevemos o sistema linear para determinar
Em forma matricial, (\displaystyle


].

Passo 4

Calculamos a inversa da matriz dos coeficientes. O determinante é
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Passo 5

Substituímos b1=1+t e b2=1-t^2. Assim
c1 =126l(7,b1+4,b2r) =126l(7(1+t)+4(1-t^2)r) =11+7t-4t^226,
c2 =126l(3,b1-2,b2r) =126l(3(1+t)-2(1-t^2)r) =1+3t+2t^226

Resposta

A base C é
C=l ;c1=11+7t-4t^226;,; c2=1+3t+2t^226 r

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