Determine as coordenadas do vetor de em relação às bases:

Passo 1

O enunciado pede para escrever o polinômio
;p(t) = -3 + 4t + t^2
como combinação linear dos vetores da base
,b1(t)=5 - 2t + t^2,;b2(t)=-3t + 2t^2,;b3(t)=1 + t
do espaço P2. Isso equivale a encontrar escalares (x,y,z) tais que
p(t) = x,b1(t) ;+; y,b2(t) ;+; z,b3(t)

Passo 2

Escrevendo a combinação, temos
x,(5 - 2t + t^2) ;+; y,(-3t + 2t^2) ;+; z,(1 + t) ;=;-3 + 4t + t^2
Agora agrupamos os coeficientes de 1, de t e de t^2.

Passo 3

Comparando coeficientes de cada potência de t, obtemos o sistema linear
5x + z = -3, -2x ; - ; 3y ; + ; z = 4, x + 2y = 1

Passo 4

Da primeira e da terceira equações isolo z e y:
z = -3 - 5x, y = 1 - x2
Substituindo na segunda equação:
-2x ;-;3!l(tfrac1 - x2r);+;(-3 - 5x) = 4
Multiplicando tudo por 2 para simplificar,
-4x ;-;3(1 - x);-;2(3 + 5x) = 8 ;Longrightarrow; -4x -3 +3x -6 -10x = 8 ;Longrightarrow; -11x = 17 ;Longrightarrow; x = -tfrac1711

Passo 5

Agora calculo y e z usando x = -tfrac1711:
y = 1 - (-1711)2 = tfrac1111 + tfrac17112 = tfrac28112 = tfrac1411,
z = -3 - 5l(-tfrac1711r) = -tfrac3311 + tfrac8511 = tfrac5211

Resposta

As coordenadas de p(t) na base dada são
l(x,y,zr) = l(-tfrac1711,;tfrac1411,;tfrac5211r)

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