Determine f’(x) para f(x) dada.
17 \operatorname{cosh} \sqrt{4 x^{2} 3}

Passo 1

Resumindo, temos a função
f(x) = 17 \operatorname{cosh}\bigl(\sqrt{4x^{2} + 3}\bigr)
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia: primeiro derivamos a função externa \operatorname{cosh}(u) em relação a u, depois multiplicamos pela derivada de u(x), onde
u(x) = \sqrt{4x^{2} + 3} \;=\;(4x^{2}+3)^{\tfrac12}.

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia. Sabemos que
\frac{d}{du}\operatorname{cosh}(u)=\operatorname{sinh}(u).
Logo,
f'(x) =17\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{cosh}(u(x))\bigr] =17\,\operatorname{sinh}\bigl(u(x)\bigr)\,\frac{du}{dx}.

Passo 3

Agora calculamos \displaystyle \frac{du}{dx} para u(x)=(4x^{2}+3)^{1/2}. Usando a derivada de v^{1/2} e a regra da cadeia interna:
\frac{du}{dx} =\frac12\,(4x^{2}+3)^{-1/2}\;\cdot\;\frac{d}{dx}(4x^{2}+3) =\frac12\,(4x^{2}+3)^{-1/2}\;\cdot\;8x =\frac{4x}{\sqrt{4x^{2}+3}}.

Passo 4

Substituindo \displaystyle \frac{du}{dx} em f'(x):
f'(x) =17\,\operatorname{sinh}\bigl(\sqrt{4x^{2}+3}\bigr)\;\cdot\;\frac{4x}{\sqrt{4x^{2}+3}} =\frac{68\,x}{\sqrt{4x^{2}+3}}\;\operatorname{sinh}\bigl(\sqrt{4x^{2}+3}\bigr).

Resposta

f'(x) =\frac{68\,x}{\sqrt{4x^{2}+3}}\;\operatorname{sinh}\bigl(\sqrt{4x^{2}+3}\bigr).

Exercícios de Livros Relacionados