Determine f’(x) para f(x) dada.
15 \ln \operatorname{senh} 2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=15\ln\bigl(\senh(2x)\bigr).
O conteúdo aqui é derivada de função composta, usando a regra de derivação de \ln(u) e a regra da cadeia para \senh(2x).

Passo 2

Aplicando a regra da derivada de \ln(u), temos
f'(x) =15\cdot\frac{1}{\senh(2x)}\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\senh(2x)\bigr].

Passo 3

Agora derivamos \senh(2x). Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl[\senh(2x)\bigr] =2\operatorname{cosh}(2x).
Substituindo em f'(x),
f'(x) =15\cdot\frac{1}{\senh(2x)}\cdot\bigl(2\operatorname{cosh}(2x)\bigr) =\frac{30\,\operatorname{cosh}(2x)}{\senh(2x)}.

Passo 4

Por fim, reconhecemos \coth(t)=\dfrac{\operatorname{cosh}(t)}{\senh(t)}. Logo,
f'(x)=30\,\coth(2x).

Resposta

f'(x)=30\,\coth(2x).

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