Determine o domínio e a imagem para cada equação.
Passo 1
Temos a função y = x³ - 4. O conteúdo aqui é análise de domínio e imagem de uma função polinomial. Para resolver, vamos usar o fato de que polinômios estão definidos para todo x real e que, por serem contínuos e estritamente crescentes no caso cúbico de grau ímpar, percorrem todos os valores reais.
Passo 2
O domínio de uma função f(x) é o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão faz sentido. Como x³ - 4 é um polinômio (sem raízes, frações ou logaritmos), ele está definido para qualquer x real. Logo,
O conjunto domínio é
O conjunto domínio é
Passo 3
Para encontrar a imagem (ou contradomínio efetivo), observamos que f(x)=x³-4 é contínua e estritamente crescente, pois a derivada f′(x)=3x² é não negativa e só zerada em x=0, sem mudar o caráter crescente. Quando x→+∞, f(x)→+∞; quando x→-∞, f(x)→-∞. Portanto, y assume todos os valores reais. Assim,
O conjunto imagem é
O conjunto imagem é
Resposta
Domínio:
. Imagem:
.