Determine a equação reduzida da elipse, satisfazendo a propriedade dada:
Centro (0,0), um vértice em (0,-4) e passa pelo ponto (3 raiz32, 2).

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida de uma elipse centrada em (0,0), com um vértice em (0,−4) e que passe por (3raiz32,2). O conteúdo aqui é a forma canônica da elipse centrada na origem e o uso das suas propriedades geométricas para determinar os parâmetros.

Passo 2

Como o vértice dado é (0,−4), a elipse tem eixo maior vertical. Denotamos a o semi-eixo maior e b o semi-eixo menor, com a>b. O vértice em (0,−4) indica a=4.

Passo 3

A forma reduzida de uma elipse com eixo maior vertical e centro na origem é
x^2b^2+y^2a^2=1

Passo 4

Substituindo a=4 obtemos
x^2b^2+y^216=1

Passo 5

Como a elipse passa por (tfrac3raiz32,2), substituímos na equação:
l(tfrac3raiz32r)^2b^2+2^216=1

Passo 6

Calculamos l(tfrac3raiz32r)^2=274 e 2^216=14, logo
27/(4)b^2+14=1

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por 4:
27b^2+1=4

Passo 8

Isolando b^2:
27b^2=3implies b^2=9

Passo 9

Portanto, a equação reduzida da elipse é
x^29+y^216=1

Resposta

dfracx^29+dfracy^216=1

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